Может ли суд отказаться рассматривать иск к банку или страховщику?

Просто так, произвольно — конечно, не может. Для возвращения искового заявления или отказа в его принятии к производству у суда должны быть основания. Такие основания установлены Гражданским процессуальным кодексом.

Исковое заявление могут вернуть, если в нём допущены какие-то ошибки. Возврат искового заявления — это не очень страшно. Если исправить ошибки и подать иск снова, его примут к производству. Возвращают иск в следующих случаях (ст. 135 ГПК РФ):

• Не соблюден обязательный претензионный порядок — например, вы не подали в страховую претензию по ОСАГО, а вместо этого сразу обратились в суд.
• Ошибка в подсудности — иски к страховой компании или банку часто можно подавать как защиту прав потребителей, т. е. в суд по своему месту жительства/пребывания, месту нахождения ответчика/его филиала, месту заключения или исполнения договора. Если выбрали какой-то другой, неподходящий суд, иск вернут.
• Подали иск, а надо было судебный приказ. Или в суде (этом же или другом) уже есть в производстве аналогичный иск.
• Проблема с подающим иск — например, это недееспособное лицо, или же подаёте иск по доверенности, но не приложили её. Или доверенность неподходящая (без права на подачу иска в суд и его подписание) или просроченная.
• Если сам истец написал заявление о возвращении иска.

Отказ в принятии иска — это уже серьёзнее. Значит, есть препятствия к тому, чтобы вообще этот иск принять и рассмотреть. Основания отказа в принятии иска предусмотрены в ст. 134 ГПК РФ:

• У вас уже есть вступившее в силу решение суда/определение о прекращении производства по делу по спору с той же самой компанией, и тот иск подавался по точно такому же предмету и основаниям. Прекращают производство в случае заключения мирового соглашения или отказа от иска. Это правило придумали, чтобы люди не судились дважды по одному и тому же поводу.
• Есть обязательное для вас и банка/страховой решение третейского суда. В суд можно обратиться только за получением исполнительного листа на принудительное исполнение такого решения.
• Поданное заявление вообще не рассматривается в гражданском порядке (например, вы просите завести на банк уголовное дело о мошенничестве). Или же вы подаёте иск о том, что не затрагивает ваши законные интересы (к примеру, вообще не касается ваших договорных отношений с банком и страховой). Или же вы подаёте иск в защиту какого-то другого человека, хотя такого права у вас по закону нет.

И в том, и в другом случае, если вы считаете, что суд необоснованно вернул иск или отказал в его принятии, можно подать частную жалобу в вышестоящий суд.